作者：孙千 公众号：老千和他的朋友们。原文地址：https://mp.weixin.qq.com/s/mbJvGp04e8L6DdFi3qiDHA
高分辨电子显微镜能看清原子，核心硬件是场发射电子枪。针尖大小的发射面打出极亮的电子束，兼顾原子级分辨率与足够的探针电流，是半个世纪以来电子光学领域最成功的技术之一。从电镜到电子全息，从真空电子管到粒子加速器，场发射电子源几乎无处不在。
但一个基础问题始终悬而未决：固体内部电子的相位相干性，究竟会在多大程度上传递给出射的电子束？
经典几何光学用非相干源假设就能解释绝大多数实验，也足够支撑现有器件的设计。但越来越多的实验迹象表明，场发射电子束的相干性并不完全能用经典模型描述，量子尺度的源内相干性，会在宏观电子束上留下可观测的印记。
经典框架：已经成熟的亮度与发射度
场发射的原理并不复杂：强电场加到金属表面，电子通过量子隧穿穿过表面势垒进入真空。和热发射相比，场发射的发射区域极小，天然具备高亮度、高电流密度的特点，这也是它能撑起原子级分辨率电镜的核心原因。
电子显微镜的分辨率由衍射极限决定：λ/(2θ)，电子波长λ越短、透镜角孔径θ越大（物镜能够有效收集电子的最大半角），分辨率越高。场发射电子枪配上球差校正器，100 千伏加速下就能做到约 100 皮米的分辨率。而在保证分辨率的前提下能获得多大的探针电流，由电子束亮度直接决定。典型的球差校正扫描透射电镜中，场发射枪亮度约为2×1013,A/(m2⋅sr)，10 皮安探针电流下束斑仅 66 皮米。
电子束亮度的严格定义为单位发射面积、单位立体角内的发射电流：
其中ρ是距光轴的径向距离，α是发射方向与光轴的夹角。为了消除加速电压的影响，行业通用约化亮度β做跨电压对比，即亮度除以束能并修正相对论效应。。
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图 1电子束亮度的极坐标与直角坐标示意。亮度定义为单位发射面积、单位立体角内的发射电流，是径向位置与发射角度的函数。 |
对于发射体尖端的轴向约化亮度β0，可由 Fowler-Nordheim 公式推导：
其中J(F,T)是场发射电流密度，由表面电场F、功函数W和温度T共同决定。
式中特征能量dF等于发射电子的平均横向能量<Et>，是决定电子束固有发散的核心物理量。
这里有个关键概念 ——虚拟源尺寸：电子从弯曲的针尖出射后，轨迹反向延长会在针尖内部形成更小的虚像，这才是电子枪真正的有效光源尺寸，也直接决定下游电子束的相干性。对于球形发射体，虚拟源尺寸与物理源尺寸的比值约为<Et>/V，V为束能。
理论上，典型钨场发射体的轴向约化亮度可达1014A/(m2⋅sr⋅V)量级，但这忽略了电子间的库仑排斥。实际中空间电荷效应最多可使亮度下降 6 个数量级，100 千伏下实际最大亮度约为1013A/(m2⋅sr)，对应虚拟源尺寸约 3 纳米，与商用器件的实测值高度吻合。
横向发射度描述的是电子在位置 – 斜率相空间的展宽，衡量电子束的 “规整程度”。x 方向均方根发射度定义为：
其中x’≈Px/P是轨迹横向斜率。根据刘维尔定理，亮度与发射度沿电子束线传播守恒，是电子光学设计的基本出发点。
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图 2 横向发射度对电子束聚焦特性的影响。发射度越小，所需透镜焦距越长，焦深越大。 |
这部分经典理论已经发展得非常成熟。通过双栅极结构，对每个发射单元单独准直，可将场发射阵列的归一化发射度从 1.2 微米降至 0.13 微米，对应的平均横向能量从 11.8 电子伏降至 0.13 电子伏，与理论预测完全吻合。无论是电镜设计还是加速器应用，这套经典框架足够用。
相干性争议：经典假设够不够用
如果说亮度和发射度已经没有太大争议，横向相干性就是这个领域最核心的未解问题。做电子衍射、电子全息、相干衍射成像，都要求电子束的横向相干长度大于样品或晶格周期，不然条纹就会糊掉。
电子束的相干性大小，本质上就是不同位置出射的电子，相位能不能对齐、对齐的程度有多高。就像光的一致性—— 普通手电筒的光是各走各的低相干光，激光是步调一致的高相干光。
做电子衍射、相干衍射成像，相干性越高，布拉格斑越锐利，能看清更小的晶格细节，甚至能从衍射图样反推样品的三维结构；做电子全息，相干长度越长，能拍摄的样品越厚，重构出来的三维影像分辨率越高。
如果只是做普通的表面形貌成像，低相干光束照出来的图像更均匀，不会出现多余的干涉条纹、散斑伪影，图像更干净、测量更准确；常规的扫描电镜、透射电镜，主流应用其实不需要极高的相干性，反而适度的低相干能提升成像质量。
经典框架里，大家默认场发射源是完全非相干的 —— 针尖上每个点发射的电子没有相位关联。这时候横向相干长度由范西泰特 – 泽尼克定理描述：
其中θs=ds/z是源对样品的张角，ds是源直径，z是传播距离。简单说就是电子源直径小、离得越远，相干长度越大。
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图 3 双缝干涉实验示意。于推导范西泰特 – 泽尼克定理的经典双缝配置。 |
按这个理论，单原子发射体在 10 厘米外的探测器上相干长度可达 1.7 厘米，足够做电子全息。这也是大家一直以来的共识。但后来越来越多的实验发现，场发射电子束的空间强度分布是高斯型的，和完全非相干源的预期对不上 —— 说明实际的电子束是部分相干的。
Garcia 和 Rohrer 最早提出部分相干源的观点，用高斯谢尔模型描述电子束：同时包含束斑尺寸σs和源内相干长度σg两个特征尺度。传播计算给出两个关键结论：一是部分相干电子束的远场发散小于非相干电子束；二是相干宽度与束斑尺寸的比值ξ=σg/σs沿传播方向守恒 —— 源里是什么比例，传多远还是什么比例。
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图 4 部分相干电子束的传播特性。部分相干电子束的发散程度明显小于完全非相干电子束。 |
最有力的实验证据来自低温测量。Cho 等人用碳纳米管做电子双棱镜，发现把场发射体从 300 开尔文降到 77 开尔文，横向相干长度提升了 5.4 倍。用经典理论完全说不通 —— 温度不会让针尖尺寸缩小五倍。但用部分相干理论就很自然：温度降低，固体里电子的非弹性散射减少，相位保持得更久，源本身的相干长度变长了，出来的电子束相干性自然变好。
这就引出了一个根本问题：场发射电子束的相干性，不只是由源的几何尺寸决定，还和固体内部电子的相位相干性有关。经典的非相干近似，其实是一种简化。
量子视角：波函数与最小相干分数
再往微观走，从量子力学角度看，场发射电子的波函数横向部分天然呈高斯分布，存在一个由不确定原理决定的最小空间展宽：
它和平均横向能量的平方根成反比，典型金属场发射体的σ0约为 0.5 纳米。
如果发射源是有限尺寸a，且源内电子存在相位相干，不同位置出射的波函数会发生相干叠加，反而让整体电子束发散减小，缩小比例约为σ0/a—— 这是纯量子效应，经典模型里完全没有。
由此可以推出一个重要结论：最小相干分数ξmin≈σ0/a。哪怕针尖内部电子的相位相干长度极短，出射电子束的相干长度与束斑尺寸的比值，至少也有这么多。对于半径 2\5 纳米的钼纳米针尖，这个比值在 0.1\0.3 之间 —— 相干长度至少能到束斑尺寸的 10% 到 30%，这是个不能忽略的比例。
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图 5 场发射电子波函数的传播。有限尺寸相干源的相干叠加效应会使电子束发散减小。 |
结合低能石墨烯衍射实验，对比了两种理论的解释力。实验中除了主布拉格斑，还观测到尺寸仅为主斑 1/10 的卫星布拉格斑，对应石墨烯上的小岛结构。用范西泰特 – 泽尼克定理计算，相干长度仅 37.9 纳米，解释不了微米级的卫星斑；用部分相干理论估算，相干长度在 6~18 微米量级，和实验更吻合。
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图 6 低能电子衍射实验装置与结果。实验观测到的卫星衍射斑与部分相干理论的预测更吻合。Soichiro Tsujino，J. Vac. Sci. Technol. B，2022 |
当然，目前的证据还不足以完全定论。两种理论都没有和实验矛盾，固体中电子的相位相干性究竟如何影响场发射过程，还需要更精细的实验。
展望：下一代器件的关键变量
总的来说，亮度、发射度这两个特性，经典几何光学已经处理得非常好，足够支撑现有技术。但相干性的量子源头，至今还没完全搞清楚。
这个问题之所以重要，是因为下一代器件正在逼近经典理论的极限。量子电子显微镜、片上微型加速器、相干衍射成像，这些技术都需要更精准的相干电子束。如果场发射电子束本身就带有源内量子相干性的印记，那我们就可以通过调控固体的电子态来调控电子束相干性，而不只是靠缩小源尺寸、增加传播距离。
这个领域还有很多根本问题没回答：电子在针尖表面加速的过程，会不会改变相位相干性？真实粗糙的针尖表面，和理想光滑表面的波函数差多少？空间电荷效应和相干性会不会相互作用？
这些问题不只是基础物理的好奇。搞清楚场发射相干性的量子本质，我们才能跳出经典几何光学的框架，真正从电子源层面设计相干电子束，做出性能更好的下一代电子光学器件。半个世纪的场发射技术，走到今天，又站在了量子与经典的边界上。
